수소꼴 원자의 슈뢰딩거 방정식 풀이 (2)

 

 

수소꼴 원자의 슈뢰딩거 방정식 풀이 (2)

[수소꼴 원자의 슈뢰딩거 방정식 풀이 (1)]  https://stachemi.tistory.com/73

 

  지난글을 통해 1개의 전자만을 갖는 수소꼴 원자의 슈뢰딩거 방정식의 좌표계 변환과 변수 분리를 통해 세 가지 방정식으로 표현할 수 있음을 알게 되었다.

 

1. Φ - 방정식의 해 : Φ (φ)

    위의 세 방정식 중에 φ 에 관한 방정식 해(일반식)를 구하는 과정이 가장 쉽다. φ 에 관한 방정식의 해 Φ 는 φ 에 대해 두 번 미분했을 때, 본래의 자신인 Φ 와 - m²의 곱한 형태를 가져야 한다.

  이 방정식의 해는 e⁽imφ) 와 e^-(imφ)이다. 따라서 정규화가 이루어지지 않은 φ-방정식의 일반해는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

  파동함수는 확률함수이므로, 모든 구간에서의 제곱의 합이 1이 되어야 한다는 정규화 조건을 이용하면 계수 C 은 다음과 같이 구할 수 있다.

  따라서 φ-방정식의 정규화된 일반해는 다음과 같다.

  xy 평면 위의 반지름이 r 로 일정한 고리에 매어있는 입자의 Hamilton 연산자는 다음과 같이 쓸 수 있으며, 포함된 편미분 관련항을 r 과 Φ 를 이용하여 표현할 수 있다. 이 때, 거리 r이 일정하므로, r 에 대한 미분항은 무시 가능하며, 관성모멘트 I  = mr²을 이용하여 연산자 H 를 정리할 수 있다.

 

 

2. Θ - 방정식의 해 : Θ (θ )

  두 번째로 θ 에 관한 방정식의 해를 구해야 하는데, 그리 간단한 문제가 아니다. 이 방정식은 르장드르 연관 방정식(Associated Legendre Function)의 형태를 갖는다.

  이 방정식이 해를 갖기 위해서는 방정식에 나타난 상수 알파(α)가 l (l +1) 형태를 갖는 정수이어야 한다. 또 다른 상수 m 은 - l 부터 + l 사이의 정수이어야 한다.

  다시 말하면, 위의 방정식이 물리적으로 의미 있는 해를 갖기 위해서는 상수 α 와 m이 해당 조건을 만족해야 한다는 뜻이다. 이 때, α 를 표현하기 위해 필요한 l 과 정해진 l 값에 의존하는 또 다른 상수인 m이 바로 양자수이다. 양자수(quantum numbe)란, 파동함수의 해를 구하는 과정에서 양자역학적 상태를 정의하기 위해 필요한 상수를 의미한다. l 과 m 값에 따른 르장드르 연관 방정식의 해는 다음과 같다.

  θ 에 관한 방정식의 해를 구하는 과정에서 등장한 두 양자수 l 과 m 은 전자의 어떤 물리량과 관련되어 있을까? 각 파동함수 Y (θ,φ ) 의 L²연산자와 L 연산자의 고윳값을 구해보면 알 수 있다.

  결과적으로 l 은 전자의 궤도 각운동량, m 은 궤도 각운동량의 z 축 성분 크기와 관련되어 있다. l 을 궤도각운동량양자수, m 을 자기양자수라 부른다.

 

 

3. R - 방정식의 해 : R (r )

  마지막으로 남아있는 r -방정식을 풀어야 한다. r -방정식에는 θ-방정식에서의 상수 알파(α)가 포함되어 있다. 이미 θ-방정식을 통해서 α = l (l +1)를 만족해야 함을 알았기 때문에 이를 대입하여 식을 정리하면 다음과 같다.

  수소꼴 원자의 경우 V (r )은 원자핵과 전자에 의한 전기적 퍼텐셜 에너지이므로, 이를 r -방정식에 대입하면 다음과 같다.

  이 방정식의 해인 R (r )과 에너지 고윳값을 구하는 것은 θ - 방정식의 해를 구하는 것보다 더 복잡하다. 방정식의 변수를 약간 변화시켜 정리하면, 라게르 연관 방정식(Associated Laguerre polynomials)으로 변환되며, 이 방정식은 n 이 0보다 큰 정수이고, l 이 0에서부터 n - 1까지의 정수일 때만 해를 갖는다.

[참고] 슈뢰딩거의 전기 《슈뢰딩거의 삶》에 의하면, 슈뢰딩거 조차도 r-방정식의 해를 구하는 데 어려움을 겪어 친구의 도움을 받았다고 한다. 도대체 그 친구는...

  몇 가지 n 과 l 에 대한 r -방정식의 해 R (r )은 다음과 같다.

  이 식들에 포함되어 있는 a 는 보어 반지름을 나타내는 상수이다. r -방정식의 해인 파동함수 R (r )에 포함되어 있는 정수 n은 전자가 가지는 에너지와 관련되어 있으며, 이를 주양자수라 한다.

 

 

[ 위 내용은 '양자역학으로 이해하는 원자의 세계'(곽영직 지음)를 읽고, 참고하여 정리한 것입니다. ]